Теория случайных функций
Теория случайных функций
Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ
равна
b.
Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром
a
.
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром
m
.
Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс
n
(t) = (
x
(t),
d
(t)) с координатами, описывающими:
- функционирование элементов
x
(t)
О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;
- функционирование КПУ
d
(t)
О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что
x
(t) - однородный Марковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса
x
(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса
d
(t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить граф состояний системы:
0 -
состояние, при котором 0 неисправных элементов, т.е. состояние
n
(t) = (0,
d
(t))
1 -
состояние, при котором 1 неисправный элемент, т.е. состояние
n
(t) = (1, 1)
П -
состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ, т.е. композиция состояний n
(t) = (1, 1),
n
(t) =(2, 0) - поглощающее состояние.
Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим:
вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5
a
h)
=
5
a
h + o(h)
вероятность восстановления элемента: 1-exp(-
m
h)
= m
h + o(h)
Ю
Пусть
Ю
Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
Пусть
,
т.е. применим преобразование Лапласа к
.
Т.к.
, то, подставляя значения интенсивностей, получаем:
Ю
Ю
( -
корни
=0)
Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций
:
Ю
Ю
Ю
Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:
,
где
,
Итак,
,
где
Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е.
M
T (T - время жизни системы):
Ю
|
